《因式分解---待定系數法、換元法、添項拆項法》知識點歸納

時間：2024-03-05 00:39:52 好文我要投稿

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　　在我們的學習時代，說到知識點，大家是不是都習慣性的重視？知識點是知識中的最小單位，最具體的內容，有時候也叫“考點”。哪些才是我們真正需要的知識點呢？以下是小編幫大家整理的《因式分解---待定系數法、換元法、添項拆項法》知識點歸納，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

《因式分解---待定系數法、換元法、添項拆項法》知識點歸納

　　知識體系梳理

　　◆添項拆項法

　　有的多項式由于“缺項”，或“并項”因此不能直接分解。通過進行適當的添項或拆項后利用分組而分解的方法稱為添項、拆項法。

　　一般來說，添項拆項后要能運用提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法分解。如果添項拆項后，不能運用四種基本方法分解，添項拆項也是無用的。

　　◆待定系數法

　　有些多項式不能直接分解因式，我們可以先假設它已分解成幾個含有待定系數因式的乘積形式。然后再把積乘出來。用等號兩邊同次項次系數相等的方法把這些待定系數求出來，進而得出因式分解結果，這種分解因式的方法叫做待定系數法分解因式。

　　◆換元法

　　所謂換元，即對結構比較復雜的代數式，把其中某些部分看成一個整體，用新的字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化、明朗化，象這種利用換元來解決復雜問題的方法，就叫。換元法在減少代數式的項數、降低多項式結構復雜程度等方面都有著獨到的作用。

　　（1）、使用換元法時，一定要有意識，即把某些相同或相似的部分看成一個。

　　（2）、換元法的種類有：單個換元、多個換元、局部換元、整體換元、特殊值換元和幾何換元。

　　（3）、利用換元法解決問題時，最后要讓原有的數或式“回歸”。

　　★★典型例題、方法導航

　　◆方法一：添項拆項法

　　【例1】分解因式：

　　分析：此多項式是三次三項式，缺項不能直接分解。可考慮添項拆項法分解。從它的最高次項看是三次，因此我們可以猜想它最多可分解成三個一次二項式的積，即，再看常數項可分解成±1、±2，因此我們可猜想分解的結果可能是或或,但的中間項是,因此是不可能的，因此只可能是前面兩種的其中一種。下面請看：

　　解：

　　其結果是我們猜想中的第一種。此題還有其他分解方法嗎？在注意到分解結果中有和的因式，因此還有其他更多的分解方法。

　　方法二：

　　方法三：

　　方法四：

　　方法五：

　　方法六：（余下過程同學自己完成）

　　方法點金：拆項、添項法分解因式的關鍵是通過拆項、添項達到分組或運用公式的目的，一般可考慮添多項式中所缺的項，或考慮常數項可分解的因數有關的因式。

　　◎變式議練一：

　　分解下列各式的因式

　　◆方法二：待定系數法

　　【例2】分解因式：

　　解：

　　設：

　　展開后左右兩邊比較系數求出、即可。

　　分解結果：

　　【例3】已知多項式能被整除，請分解前者的因式。

　　分析：設，利用多項式的恒等求出、即可。

　　◎變式議練二：

　　1、已知是的一個因式，則；

　　2、用待定系數法分解因式：

　　【例4】在實數范圍內分解因式

　　◎變式議練三：

　　求的算術平方根。

　　◆方法三：換元法

　　◆直接換元法

　　【例5】用換元法分解因式：

　　方法點金：設，

　　注意：換元法分解因式最后要回歸。

　　◎變式議練四

　　1、用換元法分解因式：

　　2、用換元法分解因式：

　　方法點金：當兩括號中的二次項，一次項的系數對應成比例可考慮用換元法分解因式。

　　【例6】分解因式：

　　分析：兩括號中二次項、一次項系數的比為，可以換元。

　　◆組合換元法

　　【例7】分解因式：

　　分析：觀察第一、四括號內的常數項和第二、三括號內的常數的和為，因此也可用組合換元法分解因式。

　　◎變式議練五

　　證明四個連續正整數的積與1的和是一個完全平方。

　　◆能力與創新

　　把下列各式分解因式：

　　①、 ②、

　　③、

　　◆◆◆◆快樂體驗

　　1、若多項式和多項式有公因式，則；

　　2、若能被整除，則；

　　3、分解因式：

　　4、已知多項式有一個因式是，把這個多項式分解因式。

　　5、甲、乙兩同學分解多項式時，甲看錯了,分解結果為,乙看錯了,分解結果為,請分析一下，、的值分別為多少？并寫出正確的分解過程。

　　6、已知一個三角形的三邊、、滿足,試判斷這個三角形的形狀，并證明你的結論。

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