《指數概念的擴充》教案
《指數概念的擴充》教案
一、目標
1．經歷由冪指數由整數逐步擴充到實數的過程，理解有理指數冪的含義，通過具體實例了解實數指數冪的意義．
2．掌握冪的運算性質．
3．理解隨著指數概念的擴充，同時指數函數的概念也由正整數指數函數逐漸擴充到實數指數函數．
4．使學生感受數學推理的合理與嚴謹，體會充滿在整個數學中的組織化，系統化的精神．
二、設計思路
以前的數學學習中，已經經歷過“數”的擴充過程．由正整數到整數，由整數到有理數，再由有理數到實數，從而形成一個優美的體系．本章也是按照這個思路來實現指數概念的擴充，依據兩個原則：①數學發展需要；②基本運算能無限制地進行．把“指數”科學地組織起來，再一次體現充滿在整個數學中的組織化，系統化的精神．
2.1 整數指數冪
1．2.1節首先回憶初中學習的整數指數冪的概念和正整數指數冪的運算性質，進而討論這些運算性質能否推廣到整數指數冪，為學習指數概念的擴充作準備．2．運算性質的擴充是通過實例說明，不要求證明，降低難度，符合高一學生的思維水平．3．當指數運算性質推廣到整數指數冪時，正整數指數冪的運算性質：
不過，這3條性質都要遵守零指數冪、負整數指數冪的底數不能等于0的規定.當指數的范圍擴大到有理數集Q以至實數集R后．冪的運算性質仍然是上述三條，當然這3條性質也要遵守負實數指數冪的底數不能等于0的規定．
4．本教材強調了整數指數冪滿足不等性質，這些性質即常用又容易理解．
2.2 分數指數冪
1．指數概念的擴充，依據兩個原則：①數學發展需要；②基本運算能無限制地進行．
2．強調指數概念的擴充是由于需要．
3．整個2，知識的發生發展都是先講指數概念的擴充．指數概念的推廣和指數函數定義域的擴充平行，隨著指數概念的擴充，同時指數函數的概念也由正整數指數函數逐漸擴充．然后運算性質的擴充．
4．本書繞開了根式，講解分數指數冪的概念．分三步，首先說清楚正分數指數冪的意義，再說 的意義，最后規定負分數指數冪的意義．通過實例，在冪的運算 bn＝am，解決求b的問題中，導出分數指數冪的概念．導出過程中強調了b的存在與唯一．使學生感受數學推理的合理與嚴謹．5．例5、6、7為學生理解分數指數冪的概念而設計．
6．分數指數冪與根式只是形式不同，為了方便學生閱讀參考書，教材中給出“有時我們把正分數指數冪寫成根式形式”，并在習題中讓學生適當地練習．
7．有理指數冪運算性質，是提出問題：“整數指數冪擴充到有理數指數冪，整數指數冪的運算性質也適用于有理數指數冪嗎？”后直接給出，沒有證明過程．這是因為教材要面對全體學生，有興趣的同學可以在教師指導下證明這些結論．
2.3 實數指數冪
1．由于學生必須學習極限的概念后，才能真正地理解實數指數冪的概念，因而本節安排《閱讀理解》，幫助學生了解了解實數指數冪的意義．
2．首先“用有理數逼近無理數”的思想，理解 的一系列不足近似值，和一系列過剩近似值，越來越逼近 的精確值．進而認識 的近似值精確度越高，以其不足近似值和過剩近似值為指數的冪10α會越來越趨近于同一個數，我們把這個數記為 ．
3．讓學生利用計算器或計算機進行實際操作，感受“逼近”過程，認識實數指數冪的概念．
4．把實數指數冪作為一小節，目的是讓學生感受“用有理數逼近無理數”，了解由“有限”認識“無限”的數學大思想．
5．當指數擴充到實數，運算性質和指數函數的概念也隨之擴充到實數集上．
三、建議
2.1 整數指數冪
1．可以采用多種方式復習整數指數冪的概念和正整數指數冪的運算性質．
2．通過問題“負整數指數冪還保留以上運算性質嗎？”組織學生演算例1，從中抽象一般結論：正整數指數冪的運算性質可以推廣到整數．
3．討論例2，讓學生得出指數冪的運算性質的五條可以合并為三條．
4．分清哪些概念是規定的(如a0＝1，00無意義)，哪些是通過演繹推理得出的．
2.2 分數指數冪
1．讓學生理解指數概念的擴充是由于數學發展和實際應用的需要．
2．正分數指數冪是由問題“正整數指數冪的運算bn ＝a中，常常是已知正實數b和正整數n，求a．反過來已知a和n怎樣求b？”引入．強調存在與唯一，即“給定正實數a，對于任意給定的正整數n，存在惟一的正實數b，使得bn ＝a．這樣，我們把這個存在惟一的正實數b記作：b＝ ”．學生理解這點后，進一步講解“給定正實數a，對于任意給定的正整數n ，m，存在惟一的正實數b，使得bn ＝ am，我們規定b叫做a的 次冪，記作：b＝ ．它就是正分數指數冪”．讓學生體會數學概念擴充的理性思考．
3．把握難度，指數概念的擴充過程要求較高，運算性質的推廣中的推理不作要求．
4．對于運算結果，一般地用分數指數冪的形式表示．如有特殊要求，根據要求給出結果．但結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數．
2.3 實數指數冪
1．在學習實數指數冪的概念時，一定讓學生利用計算器或計算機進行實際操作，感受“逼近”過程．
2． 是學生熟悉的數，這里是“用有理數逼近無理數”的思想重新認識它，讓學生讀出它的一系列不足近似值和過剩近似值，體會越來越逼近 的精確值的過程，為認識 作準備．
3．讓學生算 的一系列不足近似值和過剩近似值，并分析比較，體會越來越逼近 的精確值的過程．從而對實數指數冪有感性認識．
4．指數函數概念的擴充可以由學生討論完成．
5．實數指數冪的運算性質直接給出，并告訴學生：與有理指數冪的運算性質不同在于，要證明它，我們目前的知識不夠．
四、課程資料參考
一．怎樣證明正分數指數冪的運算性質?
二．指數發展簡史
1637年，法國數學家笛卡兒(Descartes，1596??1650年)開始用符號an表示正整數冪，在他的《幾何學》一書中，用a3代表a?a?a，用a4代表a?a?a?a．分數指數冪在十七世紀初也開始出觀，最早使用分數指數記號的是荷蘭工程師司蒂文(Stevin)．十七世紀末，華里斯開始使用an表示分數指數及負數指數冪．十八世紀初，英國數學家牛頓(Newton，1642?1727年)開始使用an表示任意實數指數冪．這樣，指數概念就由正整數指數逐步推廣到實數指數．
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